martes, 21 de enero de 2014

TODO SOBRE CONJUNTOS

ESTE DOCUMENTO CONTIENE INFORMACIÓN SOBRE INTERVALOS E INECUACIONES.

INTERVALOS

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LOS CONJUNTOS

OTRO SITIO SOBRE CONJUNTOS


CONJUNTOS

1.1       CONCEPTO INTUITIVO DE CONJUNTO

Se entiende por conjunto, una lista o colección bien definida de objetos.
Los objetos que forman el conjunto se llaman elementos o miembros del conjunto.

1.2       NOTACIÓN:

Usualmente  denotamos los conjuntos con letras mayúsculas.  Si sus elementos también son letras, éstas serán minúsculas.

EJEMPLOS:

A = {m,s,d,e,r,t}
B = {2,4,5,3,6,9}
C = { x / x es un satélite natural de la tierra}
D = { x / x 2 + 8x - 9 = 0 }

1.3       DESCRIPCIÓN:

Existen dos maneras de describir un conjunto:
1.    Por comprensión
2.    Por extensión
Por comprensión cuando se da una propiedad que identifica a cada uno de sus elementos, y por extensión cuando se da una lista de cada uno de ellos.
En los ejemplos anteriores, los conjuntos A y B están descritos por extensión y los conjuntos C y D lo están por comprensión.

1.4       RELACIONES DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN

Dado el conjunto :  A = { 4,6,7,2,3,9,0 }, se puede establecer dos tipos de relación entre uno de sus elementos o un grupo de ellos y el conjunto mismo.
Entre un elemento y el conjunto, existe la relación pertenencia; así:  4 pertenece a A, y se denota: 4 Î A
Puesto que  1 no es un elemento del conjunto A, diremos: 1 no pertenece a A , y se denota : 1 Ï A
Tomemos ahora  un nuevo conjunto cuyos elementos sean también elementos de A, digamos: R = { 7,3,9 }
En este caso, entre los conjuntos R y A existe una nueva relación llamada relación de inclusión, diremos entonces que R está incluido  en A ya que todo elemento de R es también elemento de A y la denotaremos:
R Í  A que leeremos también  R es un subconjunto de A.
Puesto que, es evidente  que  todo conjunto es subconjunto de sí mismo, la expresión   A Í B contempla la posibilidad de que A y B sean iguales, mientras que  la expresión A Ì  B  la descarta; en este caso se dice  que A es un subconjunto propio de B.

1.5       CONJUNTO  UNITARIO Y CONJUNTO VACÍO

Conjunto unitario es el que consta de un solo elemento y conjunto vacío el que carece de elementos.
El conjunto vacío se denota: {  }  o por medio de la letra Griega   f ,  pero nunca con el símbolo {f}

EJEMPLOS

1.    S = { x / x es una vocal de la palabra  Misisispi} =  { i }     es un conjunto unitario
2.    P = { x /x  es un  natural  par y primo } = { 2 } es un conjunto unitario
3.    m = { x  Î R /  x2  =  -1 } es un conjunto vacío }

1.6       CONJUNTO FINITO Y CONJUNTO INFINITO

Intuitivamente un conjunto es finito  si el proceso de contar sus elementos termina, en caso contrario el conjunto será infinito.
Tomemos los siguientes ejemplos:
1.    T = { x /x es una persona nacida en 1995 }, este conjunto aunque consta de muchos elementos y el proceso de contarlos sea difícil, es un conjunto finito.
2.  C  = { x / x es una circunferencia  con centro en el punto ( 0, 0 ) }, evidentemente es un conjunto infinito.

1.7       CONJUNTO UNIVERSAL

En el estudio de la teoría de conjuntos, muy probablemente todos los conjuntos se consideren incluidos dentro de un conjunto dado; este conjunto se llamará ConjuntoUniversal o Referencial y se denota por  U.

EJEMPLO

Para los conjuntos:  A = { 0,8,4,5, };   B = { 1,2,7,8,9 };  C = { 0,7,1 };   un conjunto Universal podría ser  el siguiente:   U= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } o también   U = Z = {  x / x es un número entero }  etc.

1.8       REPRESENTACION GRÁFICA DE UN CONJUNTO

Existen varios tipos  de diagramas para representar  conjuntos; los más usados son los siguientes:
1.    Diagramas de Venn Euler
2.    Diagramas Lineales o de Arbol

1.8.1    DIAGRAMAS DE VENN

Consisten  en regiones planas delimitadas por líneas poligonales o curvas cerradas llamadas también  lazos.

1.8.2    DIAGRAMAS LINEALES:

Como su nombre lo indica, la representación de un conjunto se realiza por medio de líneas enlazadas  como se explicará en los siguientes ejemplos:

EJEMPLO

Dados los conjuntos:
U = { a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n}    M= { a,d,f,e }     N = { f,i,j,k,n }    P = { k,n }; el diagrama de VENN correspondiente podría ser:


                                                                                          U

                                                                  N
              M                                                   
 


                                                                 P





El diagrama LINEAL para los mismos conjuntos  sería el siguiente:

                                           U
 





                            M                            N     
 





                                                         P

En un diagrama LINEAL, el conjunto ubicado en la parte inferior de la línea debe ser subconjunto del  ubicado en la parte superior. En el ejemplo anterior :   P Ì  N  Ì U ; y además M Ì U


1.9       OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

 


   1.     UNION:      A  È  B  = {  x  /  x  Π  A  , Ú   ,   x  Π B }

En los siguientes diagramas de VENN, la parte sombreada representa la UNION de dos conjuntos   A y B, para tres casos diferentes:
 


   2.     INTERSECCION:     A  Ç  B  = {  x  /  x  Π  A  , Ù  ,   x   Π   B }

Los diagramas de VENN correspondientes al conjunto   A Ç B, son:

                                        

   3.     DIFERENCIA:        A  \    B  = {  x  /  x Π  A  , Ù  ,   x  Ï   B }

La región sombreada representa el conjunto  A  \  B

 





 


  4.    DIFERENCIA SIMÉTRICA:  A  D  B = {  x / x  Î (  A È  B )  , Ù  , x  Ï ( A Ç B )  }
    
                                                           A  D  B  = { x  / x  Π (  A \  B )  , Ú  ,   x  Î ( B \ A )  }
              

Cuya representación gráfica es la siguiente:

                                                                

 
   5.       COMPLEMENTO:         A’     =    {  x  /  x   Ï   A}

El diagrama de VENN correspondiente  es:




EJEMPLO

Dados los conjuntos : U  = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }   A =  {  2,4,5,8,9,1 }      B = {  0,3,4,7,9 }
                                 
                                   C  =  {0,4,7,8,9}

            A  È  B  =  { 0,1,2,3,4,5,7,8,9  }                            ( A  È  B)’  =  { 6  }
           A  Ç  B  =  {  4,9  }                                                ( A  Ç   B)’ =  { 0,1,2,3,5,6,7,8 }

           A  \    B   =  { 2,5,8,1  }                                           A’ Ç  B  =  {  0,3,7  }

            B  \    A   =  {  0,3,7  }                                            B  \  A’  =  {  4,9  } 

            A  D   B  =   { 2,5,8 ,1,0,3,7  }                                A’  È  B’  =  { 0,1,2,3,5,6,7,8 }  

            A’   =   {  0,3,6,7  }                                                A’Ç  B’  = {  6  }

            B’ =   {  1,2,5,6,8  }                                             ( A D  B )’  =  { 4,6,9  }


1.10     CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO O CONJUNTO POTENCIA

Dado un conjunto A , se define como CONJUNTO DE PARTES de  A , al formado por todos los subconjuntos de  A. Veamos el siguiente ejemplo:


Si   A =  { a,b,c  }, entonces el conjunto de partes de  A, que denotaremos P[ A]  es igual a:

P[A] =  {  Æ, {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A  }

Obsérvese que   A  tiene 3 elementos, es decir   # A= 3 ,  y   ,  P[A]   tiene 8 elementos, es decir,  # P[A]  =  8  =  2.    El hecho de que el numeral de P[A], sea  2 elevado al numeral de A, al conjunto P[A] también se le llama CONJUNTO POTENCIA de A.


1.11     NUMERAL DE UN CONJUNTO

Al número de elementos de un conjunto  A, se le denomina Numeral de a, y se denota  #A.
Es importante para la solución de problemas, tener en cuenta las siguientes expresiones:

# [ A È B ]  =  #A  +  #B    -   #[ A Ç  B ]

# [AÈBÈC] = # A +  #B + #C  -  #[AÇB] - #[AÇC] - #[BÇC] + #[AÇBÇC]


EJEMPLO 1

1.         Dados    U = { x  / x  es un número dígito} = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
           
            A = { 2,4,5,6,9}      B  = { 0,2,4,5,7,8 }    C = { 4,6,8,9 }     hallar:
           
            a.         # [ A È B ]                                  d.   # [ ( AÈB ) Ç C]
           
            b.         # [ B È C ]                                  e.    # [ ( B ÇC ) - A ]

            c.         # [AÈBÈC]                                 f.   # [ ( C - A ) È B ]


SOLUCIÓN
              
El gráfico correspondiente a los conjuntos dados, es el mostrado en la figura de la izquierda.
El gráfico donde se muestran los numerales  de dichos conjuntos, corresponde a la figura de la derecha.
                                                                                                                                                                U                                                                                U                 
                                                                         
 



                                 2.          0.             B                            A        0           2          2              B
        A                      5.          7.
                                  4.                                                                                1
                         6. 9.        8.                                                                     2            1


           1.   3.                             C                                                                 0              C      2
                                                                                               


De acuerdo al gráfico de  la derecha tenemos:

a.         # [ A È B ]  =  0+2+2+2+1+1 =  8                d.      # [ ( AÈB ) Ç C]  = 2+1+1=4

b.         # [ B È C ]   =  0+2+2+2+1+ 1= 8                e.      # [ ( B ÇC ) - A ]    =  1

c.         # [AÈBÈC] =  0+2+2+2+1 +1 = 8               f.      # [(C- A ) È B ] =2+2+1+1+0=6


1.12     PRODUCTO CARTESIANO      

A  ×   B  =  { ( x,y) / x Î A, y , y  Π B  }


1.13     FACTORIAL  DE    n

n! = n( n-1)(n - 2)(n - 3)....1 

SE DEFINE     0! = 1


1.14     COMBINACIONES

Dado el conjunto  A = { a,b,c,d }, tomemos los grupos formados por los elementos, a , b, y c en cualquier orden:

abc; acb;  bac;  bca; cab; cba   Þ      3 elementos se pueden ordenar de 3! formas diferentes

Supongamos ahora que con el mismo conjunto A , se desean formar grupos distintos, de tres elementos sin tener en cuenta el orden en que queden, son ellos:   abc  abd  acd  bcd

Este evento lo definiremos como Combinaciones de cuatro elementos tomados de tres en tres o también Combinaciones ternarias, las cuales se hallan mediante la expresión:

  

En general, para n  elementos tomados de   r   en  r  sería:


Si en el ejemplo anterior se tomaran todas las ternas posibles con los elementos del conjunto  A = { a,b,c,d }, teniendo en cuenta ahora el orden en que se disponen; resultaría:

abc                    abd                    acd                      bcd
acb                    adb                    adc                      bdc
bac                    bad                    cad                      cbd   
bca                    bda                    cda                      cdb
cab                    dab                    dac                      dbc
cba                    dba                    dca                      dcb

Obsérvese que al final resultan  4 grupos de  6, es decir;  4C3  grupos de 3!

Este evento lo llamaríamos: Permutaciones con 4 elementos tomados de  3 en 3;
y se generalizaría mediante la expresión:










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