INTERVALOS
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LOS CONJUNTOS
OTRO SITIO SOBRE CONJUNTOS
CONJUNTOS
1.1 CONCEPTO INTUITIVO DE CONJUNTO
Se entiende por conjunto,
una lista o colección bien definida
de objetos.
Los objetos que forman el
conjunto se llaman elementos o miembros
del conjunto.
1.2 NOTACIÓN:
Usualmente denotamos los conjuntos con letras
mayúsculas. Si sus elementos también son
letras, éstas serán minúsculas.
EJEMPLOS:
A = {m,s,d,e,r,t}
B = {2,4,5,3,6,9}
C = { x / x es un satélite
natural de la tierra}
D = { x / x 2 +
8x - 9 = 0 }
1.3 DESCRIPCIÓN:
Existen dos maneras de
describir un conjunto:
1.
Por comprensión
2.
Por extensión
Por comprensión cuando se da una propiedad que identifica a cada uno de
sus elementos, y por extensión cuando
se da una lista de cada uno de ellos.
En los ejemplos anteriores,
los conjuntos A y B están descritos por extensión y los conjuntos C y D lo
están por comprensión.
1.4 RELACIONES DE PERTENENCIA E INCLUSIÓN
Dado el conjunto : A = { 4,6,7,2,3,9,0 }, se puede establecer
dos tipos de relación entre uno de sus elementos o un grupo de ellos y el
conjunto mismo.
Entre un elemento y el
conjunto, existe la relación pertenencia;
así:
4 pertenece a A, y se denota: 4 Î A
Puesto que 1 no es un elemento del conjunto A, diremos: 1 no pertenece a A , y se denota : 1 Ï A
Tomemos ahora un nuevo conjunto cuyos elementos sean
también elementos de A, digamos: R = { 7,3,9 }
En este caso, entre los
conjuntos R y A existe una nueva relación llamada relación de inclusión, diremos entonces que R está incluido en A ya que todo elemento de R es también
elemento de A y la denotaremos:
R Í A que leeremos también R es un subconjunto
de A.
Puesto que, es evidente que todo conjunto es subconjunto de sí mismo, la
expresión A Í B contempla la posibilidad
de que A y B sean iguales, mientras que
la expresión A Ì B la
descarta; en este caso se dice que A es
un subconjunto propio de B.
1.5 CONJUNTO
UNITARIO Y CONJUNTO VACÍO
Conjunto unitario es el que consta de un solo
elemento y conjunto vacío el que
carece de elementos.
El conjunto vacío se denota:
{ }
o por medio de la letra Griega f , pero nunca con el símbolo {f}
EJEMPLOS
1. S = { x / x es
una vocal de la palabra Misisispi}
= { i } es un conjunto unitario
2. P = { x /x es un
natural par y primo } = { 2 } es
un conjunto unitario
3. m = { x Î R / x2 = -1 }
es un conjunto vacío }
1.6 CONJUNTO FINITO Y CONJUNTO INFINITO
Intuitivamente un conjunto
es finito si el proceso de contar sus elementos termina,
en caso contrario el conjunto será infinito.
Tomemos los siguientes
ejemplos:
1.
T = { x /x es una persona nacida en 1995 }, este
conjunto aunque consta de muchos elementos y el proceso de contarlos sea difícil,
es un conjunto finito.
2. C = {
x / x es una circunferencia con centro
en el punto ( 0, 0 ) }, evidentemente es un conjunto infinito.
1.7 CONJUNTO UNIVERSAL
En el estudio de la teoría de conjuntos, muy probablemente
todos los conjuntos se consideren incluidos dentro de un conjunto dado; este
conjunto se llamará ConjuntoUniversal o
Referencial y se denota por U.
EJEMPLO
Para los conjuntos: A = { 0,8,4,5, }; B = { 1,2,7,8,9 }; C = { 0,7,1 }; un conjunto Universal podría ser el siguiente: U= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } o también U = Z
= { x / x es un número entero } etc.
1.8 REPRESENTACION GRÁFICA DE UN CONJUNTO
Existen
varios tipos de diagramas para
representar conjuntos; los más usados
son los siguientes:
1. Diagramas de Venn Euler
2. Diagramas Lineales o de Arbol
1.8.1 DIAGRAMAS DE VENN
Consisten en regiones planas delimitadas por líneas
poligonales o curvas cerradas llamadas también lazos.
1.8.2 DIAGRAMAS LINEALES:
Como su nombre lo indica, la
representación de un conjunto se realiza por medio de líneas enlazadas como se explicará en los siguientes ejemplos:
EJEMPLO
Dados los conjuntos:
U = {
a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n} M= {
a,d,f,e } N = { f,i,j,k,n } P = { k,n }; el diagrama de VENN
correspondiente podría ser:
U
N
M
 |
P
El diagrama LINEAL para los
mismos conjuntos sería el siguiente:
U
 |
 |
M N
 |
P
En un diagrama LINEAL, el
conjunto ubicado en la parte inferior de la línea debe ser subconjunto del ubicado en la parte superior. En el ejemplo
anterior : P Ì N Ì U ; y además M Ì U
1.9 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
 |
1.
UNION: A È B =
{ x
/ x Î A , Ú ,
x Î B }
En los siguientes diagramas
de VENN, la parte sombreada representa la UNION de dos conjuntos A y B, para tres casos diferentes:
 |
2.
INTERSECCION: A Ç B = { x
/ x Î A , Ù ,
x Î B }
Los diagramas de VENN
correspondientes al conjunto A Ç B, son:
3.
DIFERENCIA: A \ B = {
x / x Î A , Ù ,
x Ï B }
La región sombreada representa
el conjunto A \ B
4.
DIFERENCIA SIMÉTRICA: A D B = {
x / x Î ( A È B ) , Ù , x Ï ( A Ç B ) }
A D B = { x / x Î ( A
\ B )
, Ú ,
x Î ( B \ A ) }
Cuya representación gráfica
es la siguiente:
5.
COMPLEMENTO: A’ =
{ x /
x Ï A}
El diagrama de VENN
correspondiente es:
EJEMPLO
Dados los conjuntos : U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } A =
{ 2,4,5,8,9,1 } B = {
0,3,4,7,9 }
C =
{0,4,7,8,9}
A È B
= { 0,1,2,3,4,5,7,8,9 } ( A È B)’
= { 6 }
A
Ç B
= { 4,9
}
( A Ç B)’ =
{ 0,1,2,3,5,6,7,8 }
A
\ B = {
2,5,8,1 } A’ Ç B
= { 0,3,7
}
B \ A
= { 0,3,7
} B \
A’ = {
4,9 }
A D B
= { 2,5,8 ,1,0,3,7 } A’ È B’
= { 0,1,2,3,5,6,7,8 }
A’ = {
0,3,6,7 } A’Ç B’ =
{ 6
}
B’ = { 1,2,5,6,8
} (
A D B )’
= { 4,6,9 }
1.10 CONJUNTO DE PARTES DE UN CONJUNTO O
CONJUNTO POTENCIA
Dado un conjunto A , se
define como CONJUNTO DE PARTES de A , al
formado por todos los subconjuntos de A.
Veamos el siguiente ejemplo:
Si A = {
a,b,c }, entonces el conjunto de partes
de A, que denotaremos P[ A] es igual a:
P[A] = { Æ,
{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A }
Obsérvese que A
tiene 3 elementos, es decir # A=
3 , y
, P[A] tiene 8 elementos, es decir, # P[A]
= 8 = 23 .
El hecho de que el numeral de P[A], sea
2 elevado al numeral de A, al conjunto P[A] también se le llama
CONJUNTO POTENCIA de A.
1.11 NUMERAL DE UN CONJUNTO
Al número de elementos de un
conjunto A, se le denomina Numeral de a, y se denota #A.
Es importante para la
solución de problemas, tener en cuenta las siguientes expresiones:
# [
A È B ] = #A
+ #B - #[
A Ç B ]
# [AÈBÈC] =
# A + #B + #C - #[AÇB] -
#[AÇC] - #[BÇC] + #[AÇBÇC]
EJEMPLO
1
1. Dados U = { x / x es
un número dígito} = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A = { 2,4,5,6,9} B
= { 0,2,4,5,7,8 } C = { 4,6,8,9
} hallar:
a. #
[ A È B ]
d. # [ ( AÈB ) Ç C]
b. #
[ B È C ]
e. # [ ( B ÇC )
- A ]
c. # [AÈBÈC] f. # [ ( C - A ) È B ]
SOLUCIÓN
El gráfico correspondiente a
los conjuntos dados, es el mostrado en la figura de la izquierda.
El gráfico donde se muestran
los numerales de dichos conjuntos,
corresponde a la figura de la derecha.
U
U
 |
|
2. 0. B A 0 2 2 B
A 5. 7.
4.
1
6. 9. 8.
2 1
1.
3.
C
0 C
2
De acuerdo al gráfico
de la derecha tenemos:
a. # [ A È B
] =
0+2+2+2+1+1 = 8 d. # [ ( AÈB ) Ç
C] = 2+1+1=4
b. # [ B È C
] =
0+2+2+2+1+ 1= 8
e. # [ ( B ÇC ) - A ] = 1
c. # [AÈBÈC] = 0+2+2+2+1 +1 = 8 f. # [(C- A ) È B ] =2+2+1+1+0=6
1.12 PRODUCTO CARTESIANO
A × B = { (
x,y) / x Î A, y , y Î B }
1.13 FACTORIAL
DE n
n! = n( n-1)(n -
2)(n - 3)....1
SE DEFINE 0! = 1
1.14 COMBINACIONES
Dado el conjunto A = { a,b,c,d }, tomemos los grupos formados
por los elementos, a , b, y c en cualquier orden:
abc; acb; bac;
bca; cab; cba Þ 3
elementos se pueden ordenar de 3! formas diferentes
Supongamos ahora que con el
mismo conjunto A , se desean formar
grupos distintos, de tres elementos sin tener en cuenta el orden en que queden,
son ellos: abc abd
acd bcd
Este evento lo definiremos
como Combinaciones de cuatro
elementos tomados de tres en tres o también Combinaciones ternarias, las cuales se hallan mediante la
expresión:
En general, para n elementos tomados de r
en r sería:
Si en el ejemplo anterior se
tomaran todas las ternas posibles con los elementos del conjunto A = { a,b,c,d }, teniendo en cuenta ahora el
orden en que se disponen; resultaría:
abc abd acd bcd
acb adb adc bdc
bac bad cad cbd
bca bda cda cdb
cab dab dac dbc
cba dba dca dcb
Obsérvese que al final
resultan 4 grupos de 6, es decir;
4C3 grupos de 3!
Este evento lo llamaríamos: Permutaciones con 4 elementos tomados
de 3 en 3;
y se generalizaría mediante
la expresión:
