NOTASIMPATICAS: 2013

SISTEMAS DE ECUACIONES

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

EJEMPLO 1: 3X – 2Y = -2 EJEMPLO 2: 4X + 2Y + 3Z = 8

5X + 8Y = -60 3X + 4Y + 2Z = -1

2X - Y + 5Z = 3

Al primer ejemplo se le llama sistema 2x2; puesto que está compuesto por dos ecuaciones con dos incógnitas.

Al segundo ejemplo se le llama sistema 3x3; puesto que está compuesto por tres ecuaciones con tres incógnitas.

SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS: Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.

Ejemplo: X + Y = 5 Ambas ecuaciones se satisfacen para X= 3 y para Y = 2.

X – Y = 1

ECUACIONES EQUIVALENTES: Son las que se obtienen una de la otra; mediante el producto o la división por un valor constante.

Ejemplo: X + Y = 4 si se multiplican todos los términos de la ecuación por (2) se obtiene una ecuación equivalente. Esto es 2X + 2Y = 8. Al tratar de solucionar un sistema de ecuaciones equivalentes se obtiene una igualdad, puesto que las rectas coinciden.

SISTEMAS INDEPENDIENTES: Son las que no se obtienen una de la otra. Cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución común son simultáneas.

Ejemplo: X + Y = 5 Ambas ecuaciones se satisfacen para X= 3 y para Y = 2.

X – Y = 1

SISTEMAS INCOMPATIBLES: Son ecuaciones independientes que no tienen solución común.

Ejemplo: X + 2Y = 10 No hay valores que las satisfagan a la vez.

2X – 4Y = 5

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2

Se trata de encontrar los valores de X y de Y que satisfacen a la vez las dos ecuaciones o que hacen verdadera la igualdad.

1. SOLUCIÓN POR IGUALACIÓN: Tenemos en cuenta el siguiente procedimiento:

a. Numeramos las dos ecuaciones.

b. Despejamos una cualquiera de las incógnitas en cada una de las ecuaciones.

c. Igualamos entre sí los dos valores y resolvemos la ecuación con una incógnita.

d. Habiendo encontrado una de las incógnitas se reemplaza este valor en una de las ecuaciones iniciales para obtener el valor de la otra incógnita.

EJEMPLO 1

RESOLVER EL SISTEMA.

3X - 2Y = -2 ecuación (1)

5X +8Y = -60 ecuación (2)

Se despeja x de cada una de las ecuaciones.

De la Ec. (1) se tiene: X = (2y - 2)

De la Ec. (2) se tiene: X = (-8y - 60)

Igualando X se tiene:

(2y - 2) = (-8y -60)

3 5

5( 2y - 2) = 3 (-8y -60)

10 y - 10 = -24 y - 180

10y + 24 y = - 180 + 10

34 y = -170

y= -170 / 34

y= - 5

Sustituyendo el valor de y en la ecuación (1) se tiene:

3x - 2 (- 5) = - 2

3x + 10= -2

3x = -12

x= -12/ 3

x= -4

Luego la solución al sistema está en el punto ( - 4, -5).

FUNCIÓN LINEAL

ECUACION:

Es una igualdad la cual se satisface para ciertos y determinados valores de las incógnitas que en ella intervienen. Ejemplos:

1. 2x + 3 = 5 es una ecuación lineal, es decir de primer grado, con una incógnita, cuya solución es x = 1

2. x² - 16 = 0 es una ecuación cuadrática, es decir de segundo grado, con dos incógnitas, cuya solución es el conjunto { 4 , -4 }

3. x + y = 8 es una ecuación lineal con dos incógnitas, cuya solución es un conjunto infinito de parejas ordenadas ( x , y ) . Veamos algunas de ellas:

S = { (1,7), (0,8), (8,0), (10, -2).................}

4. sen x - cos x = 0 es una ecuación trigonométrica con una incógnita, cuya solución es el conjunto infinito: S = { 45°, 225°, ...... } = { p/4, 5p/4,........}

IDENTIDAD

Es una igualdad la cual se satisface para cualquier valor de las incógnitas que en ella intervienen. Ejemplos:

1. 3x = 2x + x

2. ( a+ b )² = a² + 2a.b + b²

3. sen² x + cos² x = 1

En las anteriores igualdades, las variables toman cualquier valor.

FUNCIÓN LINEAL

Introducción: Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.

DEFINICIÓN: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Definición f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función lineal.

Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b

Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 ,

g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4

DEFINICIÓN:

Las funciones lineales son polinomios de primer grado. Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.

Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7 b(x) = -4x+3

f(x) = 2x + 5 + 7x - 3

De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma más sencilla, f(x) = 9x + 2

También recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explícita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.

Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R.

Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"

Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado. Para graficarla haremos una tabla de valores.

f: R ——> R / f(x) = 2x-6

Le vamos dando valores a "x". ¿Que valores le podemos dar? Cualquiera que esté dentro del dominio.

Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6 f(5) = 4

Entonces al 5 le corresponde el 4. Nuestro punto es el (5,4).

f: R —> R / f(x) = m.x+b

Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el codominio, siempre que m no sea cero.

Este número m se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.

Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5 ,

g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4

f: f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11

si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13

si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 2 unidades.

Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g: g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7

si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4

si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades.

h: h(x) = 4 si x= 0 , entonces h(0) = 4

si x= 98 , entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX.

RESUMEN: Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresion analítica es f: R —> R / f(x) = m.x+b con m y b números reales.

La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente m y la ordenada en el origen es b.

VER VIDEO SOBRE FUNCIONES.

http://www.youtube.com/watch?v=dLNxF4SlxIw

INECUACIONES

DESIGUALDADES E INECUACIONES

Una desigualdad es una expresión algebraica relacionada por los signos mayor (>), menor (<), mayor o igual (³) o menor o igual (≤).

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b, c, números reales, se cumple que:

¨ Si a < b y b < c entonces a < c.

¨ Si a < b entonces a + c < b + c. "c Î Â

¨ Si a < b y c > 0 entonces a·c < b·c.

¨ Si a < b y c < 0 entonces a·c > b·c.

Las propiedades se cumplen en forma similar para >, ≤ y ³

1. Inecuaciones de primer grado

Una inecuación de primer grado es una desigualdad que tiene cualquiera de estas formas:

Ax + B < 0; Ax + B > 0; Ax + B ≤ 0; Ax + B ³ 0

En estos casos, los valores de A y B son valores constantes reales y x es una variable real. Para resolver una inecuación se debe encontrar el valor o los valores de x que satisfacen la desigualdad, es decir, hallar el conjunto solución.

Una inecuación lineal o de primer grado es aquella donde el máximo exponente de la variable es 1. Al resolver una inecuación es necesario aplicar correctamente las propiedades, sobre todo cuando multiplicamos o dividimos por un valor negativo, ya que la desigualdad cambia de sentido.

Ejemplo: Resolver la siguiente inecuación lineal. 2x – 8 < 0

Solución:

Desigualdad dada: 2x – 8 < 0

Sumamos 8 a ambos lados de la desigualdad: 2x – 8 + 8 < 0 +8

Efectuamos la operación: 2x < 8

Multiplicamos por ½ ambos lados de la desigualdad: 2x (1/2) < 8 (1/2)

Efectuamos la operación: x < 4

SOLUCIÓN DE INECUACIONES SIMULTÁNEAS

http://www.youtube.com/watch?v=LkF3-YwU2Og

http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=QUAln6yEJGg&feature=endscreen

NOTASIMPATICAS

martes, 7 de mayo de 2013

FUNCIONES

jueves, 14 de marzo de 2013

ALGEBRA NOVENO

viernes, 25 de enero de 2013

PARA REPASAR

AÑO 2013