SISTEMAS DE ECUACIONES
En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un
conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar los valores de
las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
EJEMPLO 1:
3X – 2Y = -2 EJEMPLO 2: 4X + 2Y + 3Z = 8
5X + 8Y =
-60 3X + 4Y + 2Z = -1
2X -
Y + 5Z = 3
Al primer ejemplo se le llama sistema 2x2; puesto que
está compuesto por dos ecuaciones con dos incógnitas.
Al segundo ejemplo
se le llama sistema 3x3; puesto que está compuesto por tres ecuaciones con tres
incógnitas.
SISTEMA
DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS: Dos o más ecuaciones con dos o más
incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las
incógnitas.
Ejemplo: X + Y = 5
Ambas ecuaciones se satisfacen para X= 3 y para Y = 2.
X – Y = 1
ECUACIONES
EQUIVALENTES: Son las que se obtienen una de la otra; mediante
el producto o la división por un valor constante.
Ejemplo: X + Y = 4
si se multiplican todos los términos de la ecuación por (2) se obtiene
una ecuación equivalente. Esto es 2X + 2Y = 8. Al tratar de solucionar un
sistema de ecuaciones equivalentes se obtiene una igualdad, puesto que las
rectas coinciden.
SISTEMAS
INDEPENDIENTES: Son las que no se obtienen una de la otra.
Cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución común son
simultáneas.
Ejemplo: X + Y = 5
Ambas ecuaciones se satisfacen para X= 3 y para Y = 2.
X – Y = 1
SISTEMAS
INCOMPATIBLES: Son ecuaciones independientes que no tienen
solución común.
Ejemplo: X + 2Y = 10
No hay valores que las satisfagan a la vez.
2X – 4Y = 5
MÉTODOS DE
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2
Se trata de encontrar los
valores de X y de Y que satisfacen a la vez las dos ecuaciones o que hacen
verdadera la igualdad.
1. SOLUCIÓN POR
IGUALACIÓN: Tenemos en cuenta
el siguiente procedimiento:
a. Numeramos
las dos ecuaciones.
b. Despejamos
una cualquiera de las incógnitas en cada una de las ecuaciones.
c. Igualamos
entre sí los dos valores y resolvemos la ecuación con una incógnita.
d. Habiendo
encontrado una de las incógnitas se reemplaza este valor en una de las
ecuaciones iniciales para obtener el valor de la otra incógnita.
EJEMPLO 1
RESOLVER EL SISTEMA.
3X - 2Y = -2 ecuación (1)
5X +8Y = -60 ecuación (2)
Se despeja x de cada una de las ecuaciones.
De la Ec. (1) se tiene: X = (2y - 2)
3
De la Ec. (2) se tiene: X = (-8y - 60)
5
Igualando X se tiene:
(2y - 2) = (-8y -60)
3 5
5( 2y - 2) = 3 (-8y -60)
10 y - 10 = -24 y - 180
10y + 24 y = - 180 + 10
34 y = -170
y= -170 / 34
y= - 5
Sustituyendo el valor de y en la ecuación (1) se tiene:
3x - 2 (- 5) = - 2
3x + 10= -2
3x = -12
x= -12/ 3
x= -4
Luego la solución al sistema está en el punto ( - 4, -5).
FUNCIÓN LINEAL
ECUACION:
Es
una igualdad la cual se satisface para ciertos y determinados valores de las
incógnitas que en ella intervienen. Ejemplos:
1. 2x + 3
= 5 es una ecuación lineal, es decir de primer
grado, con una incógnita, cuya solución es
x = 1
2. x2 -
16 = 0 es
una ecuación cuadrática, es decir de segundo grado, con dos incógnitas, cuya
solución es el conjunto { 4 , -4 }
3. x
+ y = 8 es
una ecuación lineal con dos incógnitas, cuya solución es un conjunto infinito
de parejas ordenadas ( x , y ) . Veamos algunas de ellas:
S = {
(1,7), (0,8), (8,0), (10, -2).................}
4. sen x
- cos x = 0
es una ecuación trigonométrica con una incógnita, cuya solución es el
conjunto infinito: S =
{ 45°, 225°,
...... } = { p/4, 5p/4,........}
IDENTIDAD
Es
una igualdad la cual se satisface para cualquier valor de las incógnitas que en
ella intervienen. Ejemplos:
1. 3x =
2x + x
2. ( a+ b )2 = a2 + 2a.b + b2
3. sen2 x + cos2 x = 1
En
las anteriores igualdades, las variables toman cualquier valor.
FUNCIÓN
LINEAL
Introducción: Recordemos que
una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de
partida, llamado Dominio, y
los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le
corresponde uno, y solo uno, en el codominio.
DEFINICIÓN: Una función lineal es
una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son
también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de
primer grado.
Definición f: R —>
R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una
función lineal.
Este último renglón se lee: f de R en R
tal que f de equis es igual a a.x+b
Por ejemplo, son funciones
lineales f: f(x) = 2x+5 ,
g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4
DEFINICIÓN:
Las
funciones lineales son polinomios de primer grado. Recordemos
que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1.
Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.
Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7 b(x) =
-4x+3
f(x) = 2x + 5 + 7x - 3
De
estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos
reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma más
sencilla, f(x) = 9x + 2
También recordemos que hemos convenido
que cuando no establecemos en forma explícita el dominio y el codominio de una
función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso.
Por ejemplo, si hablamos de la función
f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R
——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y
el codominio también, todos los números reales, R.
Esto se lee " f de R en R tal que
f de x es igual a 2x-6"
Vamos a graficar esta función, que tal
cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer
grado. Para graficarla haremos una tabla de valores.
f: R ——>
R / f(x) = 2x-6
Le vamos dando valores a
"x". ¿Que valores le podemos dar? Cualquiera que esté
dentro del dominio.
Por ejemplo, si x = 5 , entonces f(x)
pasa a ser f(5), que es f(5) =
2.(5)-6 f(5) = 4
Entonces al 5 le corresponde el
4. Nuestro punto es el (5,4).
f: R —> R / f(x) = m.x+b
Una función lineal cumple además, que
el incremento de los
valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el
codominio, siempre que m no sea cero.
Este número m se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.
Volvamos a esto ejemplos de funciones
lineales f: f(x) = 2x+5 ,
g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4
f: f(x) = 2x+5 si x es
3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11
si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13
si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 2 unidades.
Preste atención en que los valores de
x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son los incrementos.
g: g(x) = -3x+7 si x= 0,
entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7
si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4
si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 =
-6+7 = 1
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades.
h: h(x) = 4 si x=
0 , entonces h(0) = 4
si x= 98 , entonces h(98) = 4
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta
paralela al eje OX.
RESUMEN:
Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real,
cuya expresion analítica es f: R —> R /
f(x) = m.x+b
con m y b números reales.
La representación gráfica de dichas
funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación
de dicha recta esta dada por la pendiente m y la ordenada en el
origen es b.
VER VIDEO SOBRE FUNCIONES.
